Новости  Акты  Бланки  Договор  Документы  Правила сайта  Контакты
 Топ 10 сегодня Топ 10 сегодня 
  
10.11.2015

Графический способ решения

Боьшое число экономических задач сводится к линейным математическим моделям. Традиционно оптимизационные линейные математические модели называются моделями линейного програм-мирования. Этот термин появился в конце 30-х годов, когда про-граммирование на компьютере еще не было развито, и соответствует не очень удачному переводу английского " programmation ". Под линейным программированием понимается линейное планиде, т. В данной книге встречаются также термины «нелинейное программирование» и «динамическое программирование», которые аналогичным образом подразумевают получение оптимального решения задач с соответствующей структурой. В общем виде задача линейного программирования ставится следующим образом. Максимизировать минимизировать функцию 3. Задача содержит п переменных и т ограничений. Решить задачу линейного программирования — это значит найти значения управляющих переменных x jудовлетворяющих ограничениям 3. В зависимости от вида целевой функции 3. В этой главе рассматривается общая линейная задача. Приведем пример экономической задачи, сводящейся к линейной модели. Заказчикам требуется 1000 изделий первого вида. Условия спроса на рынке ограничивают число изделий первого вида 2000 единицами, второго — 3000 и третьего — 5000 единицами. Для изготовления изделий используется 4 типа ресурсов. Количество ресурсов, потребляемых для производства одного изделия, общее количество ресурсов и прибыль от реализации каждого вида изделия заданы в табл. Построение математической модели 3. Выполним последовательно этапы построения математической модели, сформулированные в пункте 3. В соответствии с этими ограничениями выпишем область допустимых решений задачи: 3. Неравенства с четвертого по шестое формализуют спрос на рынке. Последние четыре неравенства соответствуют ограничениям по ресурсам. Каждое слагаемое определяет прибыль от производства изделий каждого вида соответственно в количествах х 1, х 2, х 3. Ограничения и целевая функция линейны по управляющим переменным, следовательно, данная модель является линейной. При составлении модели предполагалось, что прибыль линейно зависит от числа реализуемых изделий. Приведем примеры некоторых типичных экономических и производственных задач, оптимальное решение которых может быть найдено с помощью построения и расчета соответствующих линейных математических моделей. Планирование производства Для изготовления различных видов изделий используются разные ресурсы. Общие запасы каждого ресурса, количество ресурса каждого типа, затрачиваемого на изготовление одного изделия каждого вида, и прибыль, получаемая от реализации одного изделия каждого вида, заданы. Нужно составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную суммарную прибыль от реализации изделий. Математическую модель строим по этапам, сформулированным в пункте 1. Таким образом, можно построить математическую модель. В результате ее расчета определяют оптимальный план производства, т. Формирование минимальной потребительской продовольственной корзины Задан ассортимент продуктов, имеющихся в продаже. Каждый продукт содержит определенное количество разных питательных веществ витаминов и калорий. Известен требуемый человеку минимум питательных веществ каждого вида. Необходимо определить требуемую потребительскую продовольственную корзину, имеющую минимальную стоимость. После ее расчета определяют значения x jудовлетворяющие ограничениям 3. Расчет оптимальной загрузки оборудования Предприятию необходимо выполнить производственный заказ на имеющемся оборудовании. Для каждой единицы оборудования заданы: фонд рабочего времени, себестоимость на изготовление единицы продукции каждого вида и производительность, т. Нужно распределить изготовление продукции между оборудованием таким образом, чтобы себестоимость всей продукции была минимальна. После расчета модели определяется оптимальная загрузка оборудования, т. Раскрой материала На раскрой распил поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна. Она содержит ml неизвестных управляющих переменных и п+т ограничений, не считая условий неотрицательности переменных X jk. После расчета модели определяется количество материала каждого вида, раскраиваемого различными способами. Вместо критерия минимизации себестоимости в задаче может быть взят, например, критерий минимизации отходов. В этом случае в условии должно быть задано количество отходов, получаемых при каждом способе раскроя для единицы материала каждого вида. В чем заключаются особенность задач ЛП? Какого вида бывают целевая функция? Что такое область допустимых решений? Может ли у задачи ЛП не быть решения? Если число переменных в задаче линейного программирования ЗЛП равно двум, а ограничениями является система неравенств, то задачу можно решать графическим методом. Норма затрат ресурсов на реализацию единицы товара, общий объем каждого ресурса заданы в табл. Прибыль от реализации одной единицы товара первого вида составляет 2 усл. Требуется найти оптимальный план реализации товаров, обеспечивающий торговому предприятию максимальную прибыль. Математическая модель имеет вид 3. Система неравенств включает ограничения по ресурсам. Количество ресурсов на реализацию товаров первого и второго вида не превышает общего количества ресурсов каждого типа. Построим в плоскости X 1 OX 2 область допустимых решений. Каждое неравенство системы 3. Область OABCD — область допустимых решений задачи. Для нахождения максимального значения Р проверим граничные. Точки из области решений. Построим две линии уровня рис. Максимум определяем, передвигая нашу линию уровня в направлении вектора параллельно самой себе до тех пор, пока хотя бы одна ее точка будет принадлежать области допустимых решений. Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 14 усл. Графический метод решения задачи ЛП Изложенный выше графический метод применим для решения задач линейного программирования следующего вида: 3. Для этого выбирают произвольную точку на плоскости х 1ох 2и подставляют ее координаты в первую часть одного из неравенств. Если неравенство верно, то искомая полуплоскость находится с той же стороны от прямой, что и точка; в противном случае искомая полуплоскость лежит с противоположной стороны от прямой. Эти действия последовательно выполняются для всех неравенств 3. Это можно сделать двумя способами. Можно построить вектор-нормальего направление показывает направление возрастания функции fи противоположном направлении функция убывает. Возможны следующие варианты областей допустимых решений рис. Может быть единственное решение — точка В, бесконечно много решений — отрезок CD рис. Область ограничений несовместимо допустимых решений нет, рис. И может быть только одна допустимая точка рис. Наиболее распространенный метод ее решения — симплекс-метод. Заметим, что в случае двух переменных область допустимых решений, как правило, представляет собой замкнутый многоугольник рис. Для п переменных областью допустимых решений является многомерный многогранник, подобный симплексу. Оптимальное решение, как правило, это вершина граничная точка такого многогранника. Симплекс-метод заключается в последовательном целенаправленном обходе вершин симплекса. В каждой следующей граничной точке симплекса значение целевой функции, в общем случае, улучшается. Для применения симплекс-метода задачу следует записать в канонической форме: 3. Переход к канонической форме записи производится с помощью следующих простых действий. Добавляя дополнительную неотрицательную переменную х 5 к левой части второго неравенства, также переходим к равенству. ОЗЛП не всегда имеет решение. В третьих, допустимые решения 3. Предположим, что все уравнения 3. Если это не так, то лишние уравнения надо просто исключить. В чем особенность задачи ОЗЛП? Как привести задачу ЛП к каноническому виду? Может ли в области допустимых решений быть одна точка? Симплекс-метод является методом направленного перебора решений системы 3. Каждое следующее решение улучшает значение целевой функции. Симплекс-метод включает два этапа: 1 Определение начального решения, удовлетворяющего ограничениям 3. Любое решение задачи линейного программирования называется опорным планом задачи. Данный переход осуществляется с помощью элементарных алгебраических преобразований, включающих умножение правой и левой частей уравнений на одно и то же число их сложение и не влияющих на значение решений системы 3. После указанных преобразований задача 3. Выбираются т переменных, называемых базисными и обладающих следующим свойством: они входят с коэффициентом 1 только в одно уравнение и с коэффициентом 0 в остальные уравнения системы 3. Остальные п — т переменных называют свободными. Все свободные переменные полагаются равными 0, а базисные переменные — равные правым частям соответствующих ограничений системы 3. Пусть т базисных переменных — это переменные x 1x 2 . Если все b i 0, то начальное решение является допустимым. Переходят к шагу 3. В противном случае используют алгоритм нахождения начального решения. Выражение функции f только через свободные переменные. Значения коэффициентов c j, естественно, отличны от значений коэффициентов в формуле 3. Переход к шагу 3. Проверка решения на оптимальность. В левой колонке симплекс-таблицы находятся базисные переменные, в колонке свободных членов — правые части соответствующих ограничений. В i -й строке, j -м столбце стоит коэффициент при j - й переменной в i -м ограничении 3. В последней строке f — строке стоит коэффициент с противоположным знаком при j -ой переменной в целевой функции f. В последнем столбце стоят значения свободных членов, входящего в ограничения. Если коэффициенты, стоящие при свободных переменных неотрицательны, то полученное решение оптимально. Полученное решение единственно, если все эти коэффициенты положительны. Если среди неотрицательных коэффициентов встречается хотя бы один нулевой, то задача имеет бесконечное множество решений. Если в последней строке есть хотя бы один отрицательный коэффициент, а в соответствующем этому коэффициенту столбце нет ни одного положительного элемента, то целевая функция f не ограничена на области допустимых решений. Если хотя бы один из коэффициентов, стоящих при свободных переменных, отрицательный и в соответствующем ему столбце есть хотя бы положительный элемент, то полученное решение может быть улучшено. Переход к шагу 4. Выбор переменной, вводимой в список базисных переменных. Просматривается последняя строка симплекс-таблицы. Среди элементов этой строки выбирается максимальный по абсолютной величине отрицательный элемент. Столбец, в котором стоит этот элемент, называется разрешающим. Пусть, например, это p -й столбец. Переменная х р, стоящая в этом столбце, вводится в список базисных переменных. Выбор переменной, выводимой из списка базисных переменных. Находят отношение элементов столбца свободных членов к элементам разрешающего столбца. При делении на отрицательный элемент и 0 результат полагают равным. Среди этих отношений находят минимальное. Строка, соответствующая минимальному отношению, называется разрешающей. Пусть, например, это q -я строка. Базисная переменная x qстоящая в этой строке, выводится из списка базисных переменных. Элемент симплекс — таблицы a qpстоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца, называется разрешающим элементом. Выполнение симплекс — преобразования и переход к новой симплекс-таблице. Элемент a ij новой симплекс-таблицы вычисляется с помощью следующего симплекс — преобразования: 3. Новое решение имеет следующий вид: все свободные переменные в нем полагаются равными 0, а все базисные переменные — свободным членам, стоящим в одной строке с. После построения новой симплекс-таблицы следует перейти к шагу 3 Поясним на примерах некоторые шаги алгоритма. Свободные переменные: Симплекс-таблица имеет следующий вид табл. Из системы ограничений видно, что при любом увеличении значения X 1 можно подобрать значения х з,х 4, при которых Будет выполняться система ограничений. Следовательно, функция f будет бесконечно возрастать и не будет ограниченной на области допустимых решений Таблица 3. Начальное решение: Функция Уже выражена через свободные переменные, поэтому можно перейти к составлению симплекс-таблицы табл. Из формулы для целевой функции видно, что увеличение значения х 2приводит только к уменьшению f т. Увеличение переменных х 1и х 3 приводит к увеличению значения f при этом на большую величину значение изменяется с увеличением х 1 ,следовательно, переменная х 1 должна стать базисной переменной. Максимальное значение коэффициента при х 1 в формуле для f соответствует максимальному по абсолютной величине отрицательному элементу в последней строке симплекс-таблицы, следовательно, понятен выбор новой базисной переменной. Для определения переменной, выводимой из списка оазисных переменных, надо в соответствии с алгоритмом симплекс-метода найти отношения элементов столбца свободных членов к элементам разрешающего столбца и среди них выбрать минимальное. Если перейти от симплекс-таблицы к ограничениям, то это значит, что х 1 надо выразить из первого уравнения через остальные переменные, включая х 4 ,и, подставив его во второе и третье уравнения, исключить оттуда х 4. Проделаем это ниже, а сейчас поясним, почему выбор пал именно на х 4. Попробуем вывести из списка базисных другую переменную, например х 5. Для этого выразим х 1 через х 5 и остальные переменные из второго уравнения и подставим в остальные. Вывод из списка базисных переменных переменной х 6означает, что x 1 надо выразить через х 6 из последнего уравнения исходной системы ограничений. Получившаяся при этом правая часть уравнения будет являться значением базисной переменной х 1 в новом решении. Пример расчета экономико-математической модели Предприятие рекламирует свою продукцию с использованием четырех источников массовой информации: телевидения, радио, газет и расклейки объявлений. Анализ рекламной деятельности в прошлом показал, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 5, 7 и 4 усл. На рекламу выделено 50 000 усл. Администрация предприятия не намерена тратить на телевидение более 40 %, а на радио и газеты — более 50 % от общей суммы выделенных средств. Как следует предприятию организовать рекламу, чтобы получить максимальную прибыль? Составим математическую модель задачи. Цель — максимизация прибыли. Параметрами являются все числа, приведенные в условии задачи. Управляющие переменные: х 1 — количество средств, вложенных в рекламу на телевидение; х 2 — количество средств, вложенных в рекламу на радио; х 3 — количество средств, вложенных в рекламу в газетах; х 4 — количество средств, вложенных в рекламу, организованную с помощью расклейки объявлений. Область допустимых решений имеет вид 3. Критерий оптимальности записывается следующим образом: 3. Целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным, следовательно, это задача линейного программирования. Приведем задачу к каноническому виду, добавив дополнительные переменные к левым частям ограничений 3. Функция уже выражена через свободные переменные. Проверка решения на оптимальность. Максимальное по абсолютной величине отрицательное число последней строки — это -10; следовательно, первый столбец является разрешающим и переменная х 1вводится в список базисных переменных. Найдем переменную, выводимую из списка базисных переменных. Для этого подсчитаем отношения элементов столбца свободных членов к элементам разрешающего столбца и выберем среди них минимальное Вторая строка является разрешающей, и переменная х 6 должна быть выведена из списка базисных переменных. Для подсчета элементов новой симплекс-таблицы по формулам 3. Для получения элемента новой симплекс-таблицы надо от элемента предыдущей симплекс-таблицы, стоящего на том же месте, отнять следующее выражение: произведение элемента разрешающей строки, стоящего в одном столбце с данным элементом, на элемент данной строки, стоящий в одном столбце с разрешающим элементом, деленное на разрешающий элемент. Это выражение как бы соответствует треугольнику. Таким образом, все элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент. Остальные элементы пересчитываются по правилу треугольника. Новая симплекс-таблица имеет следующий вид табл. Это решение неоптимально, так как последняя строка содержит отрицательные числа. Разрешающий столбец—третий, так как ему соответствует максимальное по абсолютной величине отрицательное число -7. Следовательно, третья строка является разрешающей. Перейдем к новой симплекс-таблице табл. Разрешающий столбец — четвертый, следовательно, переменная х 4 вводится в список базисных переменных. Разрешающая строка — первая, и переменная х 5выводится из списка базисных переменных. Новая симплекс-таблица имеет следующий вид табл. Это решение единственно, так как все элементы последней строки, соответствующие свободным переменным х 2, х 5,х 6, х 7, строго положительны. Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 395 000 усл. Рекламу на радио организовывать не следует. Изложенные выше вычисления проводились для случая, когда начальное решение является допустимым. Выражение функции f через свободные переменные. Выбор переменной, вводимой в список базисных переменных. Просматривается строка, содержащая максимальный по абсолютной величине отрицательный свободный член, и по максимальному по абсолютной величине отрицательному элементу этой строки выбирается разрешающий столбец, например столбец с номером р. Переменная, стоящая в этом столбце, вводится в список базисных переменных. Если просматриваемая строка не содержит отрицательных элементов, то система ограничений несовместна, исходная задача решений не имеет. Выбор переменной, выводимой из списка базисных переменных. Находят отношения элементов столбца свободных членов к элементам разрешающего столбца. Рассматривают отношения, в которых числитель и знаменатель отрицательные, и среди них выбирают минимальное. Строка, соответствующая выбранному отношению, например q -я, является разрешающей, и переменная, Стоящая в этой строке, выводится из списка базисных переменных. Элемент a qpстоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца, является разрешающим элементом. Если в новой таблице все свободные члены неотрицательны, то найденное решение является допустимым и следует перейти к шагу 3 алгоритма симплекс-метода, в противном случае — к шагу 2 рассматриваемого алгоритма. Заметим, что существуют различные программы, реализующие симплекс-метод на персональном компьютере. Исследователю нужно только построить линейную модель и ввести исходные данные. Все расчеты, изложенные выше, на персональном компьютере осуществятся в течение нескольких секунд. В чем особенности симплекс метода? Может ли в ограничениях присутствовать неравенства при решении задачи симплекс методом? Могут ли, при решении задачи симплекс методом, присутствовать отрицательные переменные? Рассмотрим задачу линейного программирования следующего вида: В задаче требуется максимизировать целевую функцию; все ограничения являются неравенствами со знакомвсе переменные х 1 ,х 2. Задача содержи n управляющих переменных и т ограничений. Коэффициенты при переменных в целевой функции: c 1c 2 . Двойственная задача линейного программирования имеет вид В двойственной задаче требуется найти минимум целевой функции, ограничения — неравенства со знаком управляющие переменные y 1y 2 ,…y m неотрицательны. Задача содержит m управляющих переменных и n ограничений. Коэффициенты целевой функции задачи b 1b 2 ,…b m являются свободными членами исходной ЗЛП, а свободные члены двойственной задачи с 1,с 2. Матрица коэффициентов двойственной задачи транспонирована, т. Для двойственных задач верна следующая теорема. Поясним экономический смысл двойственной модели. Пусть в качестве управляющих переменных x jисходной модели рассматривается число изделий, производимых некоторым предприятием, а параметрами b i— количество ресурсов i -го типа, используемых для изготовления изделий. Через a ij обозначено количество ресурсов i -го типа, идущее на изготовление одного изделия j - го вида, j — прибыль от реализации одного изделия j - го вида. Тогда исходная модель 3. Пусть предприятие решило прекратить производство изделий и продать ресурсы, идущие на их изготовление. Обозначим через цены на единицу ресурсов i -го вида, Цены на ресурсы должны удовлетворять следующим двум условиям: во-первых, они н e должны быть слишком высокими, иначе ресурсы невозможно будет продать; а во-вторых, цены на ресурсы должны быть такими, чтобы прибыль от их реализации была больше прибыли от реализации готовой продукции. Первое условие выражается формулой 3. В левой части каждого из неравенств 3. Значения переменных y 1y 2 ,…y m часто называют теневыми ценами. Построение двойственной задачи позволяет глубже разобраться в поставленной экономической проблеме. Если управляющие переменные в задаче линейного программирования определяют количество единиц неделимой продукции, то оптимальное решение должно быть получено в целых числах. К задачам такого типа относится большое число экономических задач, например распределение производственных заказов между предприятиями, оптимальный раскрой материалов, определение загрузки оборудования, распределение транспортных средств по рейсам, задачи производства и реализации неделимой продукции. Если единица составляет малую часть от общего количества, например при планировании массового и крупносерийного производства, то для нахождения оптимального решения применяют обычный симплекс-метод и округляют полученное решение до целого. В противном случае, например при планировании производства или реализации автомобилей, округление может привести к решению, далекому от оптимального. Линейные задачи, решение которых должно быть получено в целых числах, называют задачами целочисленного программирования ЦЛП. Математическая модель задачи ЦЛП имеет следующий вид 6 где Z — множество целых чисел. Для решения задачи ЦЛП может быть применен метод Гомори. Метод Гомори содержит два этапа. Решение исходной задачи обычным симплекс-методом и проверка решения на целочисленноесть. Если решение содержит хотя бы одно дробное значение, то переходят к этапу 2, в противном случае расчет заканчивается. Составление дополнительного ограничения сечения и решение расширенной задачи обычным симплекс-методом. Дополнительное ограничение сечение отсекает нецелочисленные решения. Сечение обладает следующими двумя свойствами: 1 любое целочисленное решение ему удовлетворяет; 2 любое не целочисленное решение задачи ему не удовлетворяет. Объясним, как составляется сечение. Пусть выполнен этап 1; — дробное число. Так как b i — дробное, а в пра вой части все переменные целые, хотя бы одно значение a ijдолжно быть дробным. Возьмем дробную часть от левой и правой частей ограничения. Обозначим через { r } дробную часть числа r. Дробная часть суммы не превосходит суммы дробных частей слагаемых, поэтому Дробная часть произведения не превосходит произведения целого на дробную часть, следовательно: В результате имеем Обозначим Тогда из последнего неравенства получаем Отняв от левой части неравенства дополнительную неотрицательную переменную, переходим к уравнению При дополнении этого ограничения к исходной задаче мы по лучили задачу большей размерности. Эту задачу решают обычным симплекс-методом, т. Если при решении задачи симплекс-методом имеется несколько дробных решений, то дополнительные ограничения следует составлять для значения, имеющего максимальную дробную часть. Задачи и упражнения к главе 3 1. При продаже двух видов товара используется 4 типа ресурсов. Норма затрат ресурсов на реализацию единицы товара, общий объем каждого ресурса заданы в таблице. Требуется найти оптимальный план реализации товаров, обеспечивающий торговому предприятию максимальную прибыль графическим методом. Решить задачу графическим методом. Привести, представленные ограничения к каноническому виду. Решить задачу 1 симплекс методом. Решить задачу 3 симплекс методом.

  Комментарии к новости 
 Главная новость дня Главная новость дня 
Теория колебаний и волн
Управление образования город алапаевск
Балтийский вокзал расписание автобусов
Новая почта в конотопе адрес
Знак зодиака стрелец ребенок мальчик
Идеи причесок на средние волосы
Ресничный клещ лечение
Основные даты великой отечественной войны
Тесто для булочек с сосиской
 
 Эксклюзив Эксклюзив 
Карта сайта
События 9 января
Коап должностное лицо понятие
Троксегель инструкция по применению
Светодиод от сети 220 в схема
На физической карте мира найдите
Мехомания ижевск каталог